Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c和一次函数g（x）=-bx，其中a，b，c∈R，且满足a＜b＜c，f（1）=0．
（Ⅰ）证明：函数f（x）与g（x）图象交于不同的两点A，B．
（Ⅱ）若函数F（x）=f（x）-g（x）在[2，3]上的最小值是-19，最大值为-6，试求a，b的值．

Answer 1

考点：二次函数在闭区间上的最值,二次函数的性质

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）令ax+bx+c=-bx，利用判别式，即可证明；
（Ⅱ）确定函数F（x）的图象的对称轴方程为x=-

2b

a

＜1，a＜0，利用函数F（x）=f（x）-g（x）在[2，3]上的最小值是-19，最大值为-6，即可求a，b的值．

解答： （Ⅰ）证明：令ax+bx+c=-bx，即ax²+2bx+c=0
△=4b²-4ac=4（b²-ac） …（2分）
由f（1）=0得a+b+c=0，而a＜b＜c，∴a＜0，c＞0，即ac＜0，
∴△=4（b²-ac）＞0
∴函数 f（x）与g（x）图象交于不同的两点A，B…（6分）
（Ⅱ）解：由题意知，F（x）=ax²+2bx+c，
∴函数F（x）的图象的对称轴方程为x=-

2b

a

又a+b+c=0，∴x=-

2b

a

＜1…（8分）
又a＜0，∴F（x）在[2，3]单减，
∴F（3）=-19，F（2）=-6…（10分）
即

9a+6b+c=-19 4a+4b+c=-6 a+b+c=0

，∴

a=-3 b=1

…．…．…（12分）

点评：本题考查二次函数在闭区间上的最值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．