Question

如图所示，将边长为2的正三角形铁皮的三个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正三棱柱容器，要求正三棱柱容器的高x与底面边长之比不超过正常数t．
（1）把正三棱柱容器的容积V表示为x的函数，并写出函数的定义域；
（2）x为何值时，容积V最大？并求最大值．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,函数模型的选择与应用,棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：导数的综合应用

分析：根据已知中箱子的制作方法，我们可求出容积V（x）的解析式，求出其导函数，分析其单调性，可得到函数的最值点，代入可得答案．

解答： 解：（1）因为正三棱柱容器的高x，则容器底边长为2-2

3

x，（0＜x＜

3

3

），
所以正三棱柱容器的容积为V（x）=

1

2

×(2-2

3

x)2×sin60°•x=3

3

x³-6x²+

3

x，（0＜x＜

3

3

），
（2）V′（x）=9

3

x²-12x+

3

，
令V′（x）=0，即9

3

x²-12x+

3

=0，解得x=

3

3

（舍去），或x=

3

9

，
当x∈（0，

3

9

）时，V′（x）＞0，
当x∈（

3

9

，

3

3

）时，V′（x）＞0，
所以函数V（x）在x=

3

9

时，取得极大值，
这个极大值就是函数V（x）的最大值，即为V（

3

9

）=3

3

×（

3

9

）³-6×（

3

9

）²+

3

×

3

9

=

1

27

-

2

9

+

1

3

=

2

27

．

点评：本题考查的知识点是棱柱的体积，导数法求最值，其中根据已知求出容积V（x）的解析式，是解答的关键．