Question

2．已知△ABC三内角A，B，C所对边分别为a，b，c．
（Ⅰ）若a，b，c成等比数列，求角B的最大值；
（Ⅱ）若a²，b²，c²成等差数列，求角B的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据题意得出，b²=ac，利用余弦定理，基本不等式求解即可，
（Ⅱ）根据题意得出，b²=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}}{2}$，利用余弦定理，基本不等式求解即可，

解答 解（Ⅰ）由已知得b²=ac，
由余弦定理$cosB=\frac{{{a^2}+{c^2}-{b^2}}}{2ac}=\frac{{{a^2}+{c^2}-ac}}{2ac}=\frac{1}{2}（\frac{a}{c}+\frac{c}{a}）-\frac{1}{2}≥\frac{1}{2}×2-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$，
当a=c时，cosB取得最小值，即角B取得最大值$\frac{π}{3}$；
（Ⅱ）由已知得${b^2}=\frac{{{a^2}+{c^2}}}{2}$，
由余弦定理$cosB=\frac{{{a^2}+{c^2}-{b^2}}}{2ac}=\frac{{{a^2}+{c^2}}}{4ac}=\frac{1}{4}（\frac{a}{c}+\frac{c}{a}）≥\frac{1}{4}×2=\frac{1}{2}$，
当a=c时，cosB取得最小值，即角B取得最大值$\frac{π}{3}$．

点评 本题考查解斜三角形，运用余弦定理，基本不等式求解，属于中档题．