Question

17．已知O为△ABC的外心，且$cosA=\frac{1}{3}$，若$\overrightarrow{AO}=α\overrightarrow{AB}+β\overrightarrow{AC}$，则α+β的最大值为$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 用$\overrightarrow{OB}，\overrightarrow{OC}$表示出$\overrightarrow{OA}$，两边平方，利用2倍角公式得出α+β与αβ的关系，再利用基本不等式得出α+β的范围．

解答 解：∵$\overrightarrow{AO}=α\overrightarrow{AB}+β\overrightarrow{AC}$，
∴-$\overrightarrow{OA}$=α（$\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$）+β（$\overrightarrow{OC}$-$\overrightarrow{OA}$），
∴（α+β-1）$\overrightarrow{OA}$=α$\overrightarrow{OB}$+β$\overrightarrow{OC}$，
∴α+β-1＜0，即α+β＜1．
∵cosA=$\frac{1}{3}$，∴cos∠BOC=cos2A=2cos²A-1=-$\frac{7}{9}$，
设△ABC的外接圆半径为R，则（α+β-1）²R²=α²R²+β²R²-$\frac{14}{9}$αβR²，
整理得：18（α+β）=9+32αβ，
∵αβ≤（$\frac{α+β}{2}$）²，
∴18（α+β）≤9+32•$\frac{（α+β）^{2}}{4}$，解得α+β≤$\frac{3}{4}$或α+β≥$\frac{3}{2}$（舍），
故答案为：$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查了平面向量的基本定理，平面向量的数量积运算，借助几何关系得出平面向量的关系是解题关键，属于中档题．