Question

7．已知函数f（x）=（sinx+cosx）²+cos2x．
（ I）求f（x）的最小正周期；
（ II）求f（x）在区间$[0，\frac{π}{2}]$上的最大值和最小值及相应的x值．

Answer 1

分析 （ I）利用三角恒等变换化简f（x）的解析式，再利用正弦函数的周期性求得f（x）的最小正周期．
（ II）利用正弦函数的定义域和值域，求得f（x）在区间$[0，\frac{π}{2}]$上的最大值和最小值及相应的x值．

解答 解：（ I）∵$f（x）={（sinx+cosx）^2}+cos2x=1+sin2x+cos2x=1+\sqrt{2}sin（2x+\frac{π}{4}）$，
∴f（x）的最小正周期是π．
（ II）∵$x∈[0，\frac{π}{2}]$，∴$2x+\frac{π}{4}∈[\frac{π}{4}，\frac{5π}{4}]$，又 f（x）=1+$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），
∴当$2x+\frac{π}{4}=\frac{π}{2}$，即$x=\frac{π}{8}$时，$f{（x）_{max}}=1+\sqrt{2}$；
当2x+$\frac{π}{4}$=$\frac{5π}{4}$时，即x=$\frac{π}{2}$时，f（x）取得最小值为1+$\sqrt{2}$•（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）=1-1=0．

点评 本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性，正弦函数的定义域和值域，属于基础题．