题目内容
19．设定义域为（0，+∞）上的单调函数f（x），对于任意的x∈（0，+∞），都有f（f（x）-x2）=6，则f（2）=6．分析 由函数的单调性及对于任意的x∈（0，+∞），都有f（f（x）-x2）=6能推导出f（x）=6只有一个解，记为x=t，f（t）=6，从而得6-t2=t，由此求出t=2，从而f（2）=6．
解答 解：∵定义域为（0，+∞）上的单调函数f（x），
对于任意的x∈（0，+∞），都有f（f（x）-x2）=6，
∴f（x）=6只有一个解，记为x=t，f（t）=6
则将x=t代入恒等式，得：f[f（t）-t2]=6
即f（6-t2）=6，得6-t2=t，
∴t2+t-6=0，即（t+3）（t-2）=0
因t＞0，得t=2
∴f（2）=6．
故答案为：6．
点评 本题考查函数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．
练习册系列答案
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