Question

9．设向量$\vec a=（{2，sinα}）$，$\vec b=（{cosα，-1}）$，且$\vec a⊥\vec b$．求：
（1）tanα；
（2）$\frac{sinα+cosα}{sinα-cosα}$；
（3）sin²α+sinαcosα．

Answer 1

分析 解法一：（1）由a⊥b，得2cosα-sinα=0，即可解得tanα．
（2）利用同角三角函数基本关系式转化后，由（1）即可代入得解．
（3）利用同角三角函数基本关系式转化后，由（1）即可代入得解．
解法二：（1）由a⊥b，得2cosα-sinα=0即可解得tanα．
（2）由$\left\{\begin{array}{l}tanα=2\\{sin^2}α+{cos^2}α=1\end{array}\right.$，解得sinα，cosα的值，代入即可得解．
（3）由（2），代入数值得${sin^2}α+sinαcosα=\frac{6}{5}$．

解答 （本题满分为14分）
解：解法一：（1）由a⊥b，得2cosα-sinα=0，…（2分）
解得tanα=2．   …（4分）
（2）$\frac{sinα+cosα}{sinα-cosα}=\frac{tanα+1}{tanα-1}$…（7分）
=$\frac{2+1}{2-1}=3$．   …（9分）
（3）${sin^2}α+sinαcosα=\frac{{{{sin}^2}α+sinαcosα}}{{{{sin}^2}α+{{cos}^2}α}}$…（12分）
=$\frac{{{{tan}^2}α+tanα}}{{{{tan}^2}α+1}}$=$\frac{4+2}{4+1}=\frac{6}{5}$．  …（14分）
解法二：（1）由a⊥b，得2cosα-sinα=0，…（2分）
解得tanα=2．       …（4分）
（2）由$\left\{\begin{array}{l}tanα=2\\{sin^2}α+{cos^2}α=1\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}sinα=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}\\ cosα=\frac{{\sqrt{5}}}{5}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}sinα=-\frac{{2\sqrt{5}}}{5}\\ cosα=-\frac{{\sqrt{5}}}{5}.\end{array}\right.$．…（8分）
将数值代入得$\frac{sinα+cosα}{sinα-cosα}$=3．    …（11分）
（3）由（2），代入数值得${sin^2}α+sinαcosα=\frac{6}{5}$． …（14分）

点评 本题主要考查了同角三角函数基本关系式，平面向量数量积的运算的应用，考查了转换思想，属于基础题．