Question

15．S_n是数列{a_n}的前n项和，且a₁=1，a_n+1=2a_n+n-1，S₁₀=1991．

Answer 1

分析 由数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=2a_n+n-1，变形为a_n+1+（n+1）=2（a_n+n），即可数列{a_n+n}是等比数列，其中首项为a₁+1=2，公比为2．求出通项公式
再利用等比数列的通项公式、等比数列与等差数列的前n项和公式即可得出，代值计算即可．

解答 解：由数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=2a_n+n-1，变形为a_n+1+（n+1）=2（a_n+n）．
∴数列{a_n+n}是等比数列，其中首项为a₁+1=2，公比为2，
∴a_n+n=2×2^n-1，
∴a_n=2ⁿ-n
∴S_n=$\frac{2（{2}^{n}-1）}{2-1}$-$\frac{n（n+1）}{2}$=2ⁿ⁺¹-2-$\frac{n（n+1）}{2}$，
∴S₁₀=2¹¹-2-$\frac{10（10+1）}{2}$=1991
故答案为：1991．

点评 本题考查了数列的递推公式和等比数列的通项公式、等比数列与等差数列的前n项和公式，属于中档题．