Question

设正项等比数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₃=4，S₂=3．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=

2

log2a2n?log2a2n+2

，令数列{b_n}的前n项和为T_n．证明：T_n＜1．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合

专题：计算题,等差数列与等比数列

分析：（1）公式法求通项公式；（2）化简b_n，裂项求和法求T_n

解答： 解：（1）由题意可得

a1q2=4 a1+a1q=3

解得

a1=1 q=2

；
所以an=2n-1．
（2）bn=

2

log2a2n•log2a2n+2

=

2

(2n-1)(2n+1)

=

1

2n-1

-

1

2n+1

所以Tn=1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

=1-

1

2n+1

，
因为

1

2n+1

＞0，所以T_n＜1．

点评：本题考查了通项公式的一般求法及裂项求和法，属于基础题．