题目内容
已知f（x）是定义在R上不恒为零的函数，对于任意的x，y∈R，都有f（x•y）=xf（y）+yf（x）成立．数列{an}满足an=f（2n）（n∈N*），且a1=2，求数列的通项公式为an．
考点：数列与函数的综合
专题：等差数列与等比数列
分析：令x=2，y=2n-1，得f（2n）=2f（2n-1）+2n-1a1，从而得到数列{
}是以
=1为首项，1为公差的等差数列，由此能求出an=n•2n．
| an |
| 2n |
| a1 |
| 2 |
解答：
解：令x=2，y=2n-1，
则f（x•y）=f（2n）=2f（2n-1）+2n-1f（2），
即f（2n）=2f（2n-1）+2n-1a1，
an=2an-1+2n，
=
+1，
∴数列{
}是以
=1为首项，1为公差的等差数列，
∴
=n，
由此可得an=n•2n．
则f（x•y）=f（2n）=2f（2n-1）+2n-1f（2），
即f（2n）=2f（2n-1）+2n-1a1，
an=2an-1+2n，
| an |
| 2n |
| an-1 |
| 2n-1 |
∴数列{
| an |
| 2n |
| a1 |
| 2 |
∴
| an |
| 2n |
由此可得an=n•2n．
点评：本题考查数列的通项公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意构造法的合理运用．
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