Question

10．已知函数f（x）=（$\frac{1}{x}$）${\;}^{3+2m-{m}^{2}}$（m∈Z）在（0，+∞）是单调减函数，且为偶函数．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）讨论F（x）=af（x）+（a-2）x⁵．f（x）的奇偶性，并说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据函数的单调性得到m的范围，再由奇偶性和m的性质得到解析式；
（Ⅱ）对m分情况讨论，利用定义分别判定奇偶性．

解答 解：（Ⅰ）函数f（x）=（$\frac{1}{x}$）${\;}^{3+2m-{m}^{2}}$=${x}^{{m}^{2}-2m-3}$，在（0，+∞）是单调减函数，且为偶函数，可知m²-2m-3＜0，解得-1＜m＜3，又m为整数，所以m=1，即f（x）=x^-4．…（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得到F（x）=af（x）+（a-2）x⁵．f（x）=ax^-4+（a+2）x，
当a=0时，F（x）=-2x，为奇函数；
当a=-2时，F（x）=$\frac{2}{{x}^{4}}$，对任意的x∈（-∞，0）∪（0，+∞），都有F（-x）=F（x），F（x）为偶函数；
当a≠0且a≠2时，F（1）=2a-2，F（-1）=2，F（1）≠F（-1），F（1）≠-F（-1），所以此时为非奇非偶函数．    …．（13分）

点评 本题考查了函数解析式的求法以及奇偶性的判断．运用了定义进行判断．