Question

12．已知数列{a_n}各项为正，S_n为其前n项和，满a_n+1=2S_n-1且a₁=1，则a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{{3}^{n-2}，n≥2}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 a_n+1=2S_n-1且a₁=1，n≥2时，可得：a_n+1-a_n=2a_n，即a_n+1=3a_n，n=1时，a₂=1．数列{a_n}从第二项起是等比数列，公比为3．即可得出．

解答 解：∵a_n+1=2S_n-1且a₁=1，∴n≥2时，a_n=2S_n-1-1，可得：a_n+1-a_n=2a_n，即a_n+1=3a_n，
n=1时，a₂=2a₁-1=1．
∴数列{a_n}从第二项起是等比数列，公比为3．
∴a_n=1×3^n-2．
可得：a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{{3}^{n-2}，n≥2}\end{array}\right.$．
故答案为：$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{{3}^{n-2}，n≥2}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了等比数列的通项公式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．