Question

18．下列说法正确的个数是（　　）
（1）（$\frac{16}{81}$）${\;}^{\frac{3}{4}}$+log₃$\frac{5}{4}$+log₃$\frac{4}{5}$=$\frac{27}{8}$；
（2）幂函数y=f（x）的图象过点（2，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），则f（4）=2
（3）已知向量$\overrightarrow{a}$=（1，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{b}$=（$\sqrt{3}$，1），则$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$夹角的大小为30°
（4）已知x＞1，则函数y=$\frac{1}{x-1}$+x的最小值为2
（5）3^-2，2${\;}^{\frac{1}{3}}$，log${\;}_{\frac{1}{2}}$3三个数中最大的数是2${\;}^{\frac{1}{3}}$
（6）已知a＞1，f（x）=a${\;}^{{x}^{2}+2x}$，则-1＜x＜0 是使f（x）＜1成立的充分不必要条件．

• A． 2
• B． 3
• C． 4
• D． 5

Answer 1

分析 根据对数和指数的运算性质，可判断（1）；根据已知求出幂函数的解析式，可判断（2）；代入夹角公式，求出向量夹角，可判断（3）；利用基本不等式求出函数的最小值，可判断（4）；求出三个数的最大值，可判断（5）；根据充要条件的定义，可判断（6）

解答 解：（1）（$\frac{16}{81}$）${\;}^{\frac{3}{4}}$+log₃$\frac{5}{4}$+log₃$\frac{4}{5}$=$\frac{8}{27}$≠$\frac{27}{8}$，故错误；
（2）幂函数y=f（x）的图象过点（2，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），${2}^{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，解得：a=-$\frac{1}{2}$，则f（4）=2，故正确；
（3）已知向量$\overrightarrow{a}$=（1，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{b}$=（$\sqrt{3}$，1），则$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$夹角θ满足，cosθ=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{\left|\overrightarrow{a}\right|•\left|\overrightarrow{b}\right|}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，故θ=30°，故正确；
（4）已知x＞1，则函数y=$\frac{1}{x-1}$+x=$\frac{1}{x-1}$+x-1+1≥3，即函数的最小值为3≠2，故错误；
（5）0＜3^-2＜1，2${\;}^{\frac{1}{3}}$＞1，log${\;}_{\frac{1}{2}}$3＜0，故三个数中最大的数是2${\;}^{\frac{1}{3}}$，故正确；
（6）已知a＞1，f（x）=a${\;}^{{x}^{2}+2x}$，若f（x）＜1，则x²+2x＜0，解得：-2＜x＜0，
则-1＜x＜0 是使f（x）＜1成立的充分不必要条件．故正确；
综上可得：说法正确命题有4个，
故选：C

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了指数和指数的运算性质，幂函数，向量夹角公式，基本不等式，充要条件等知识点，难度中档．