Question

2．定义在R上的奇函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，又f（-3）=0，则不等式xf（x）＜0的解集为（　　）

• A． （-3，0）∪（0，3）
• B． （-∞，-3）∪（3，+∞）
• C． （-3，0）∪（3，+∞）
• D． （-3，3）

Answer 1

分析 由题意和奇函数的性质判断出：f（x）在（-∞，0）上的单调性、图象所过的特殊点，画出f（x）的示意图，将不等式等价转化后，根据图象求出不等式的解集．

解答 解：∵f（x）在R上是奇函数，在（0，+∞）上是增函数，
∴f（x）在（-∞，0）上也是增函数，
由f（-3）=0得，-f（3）=0，即f（3）=0，
由f（-0）=-f（0）得，f（0）=0，
作出f（x）的示意图，如图所示：
∵xf（x）＜0等价于$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{f（x）＜0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x＜0}\\{f（x）＞0}\end{array}\right.$，
∴由图象得，0＜x＜3或-3＜x＜0，
∴xf（x）＜0的解集为：（-3，0）∪（0，3），
故选A．

点评 本题考查函数奇偶性与单调性的关系，以及奇函数的性质，考查数形结合思想，转化思想，画出函数的示意图是解题关键．