Question

7．已知椭圆中心在原点，焦点在坐标轴上，焦距为$2\sqrt{13}$，另一双曲线与椭圆有公共焦点，且椭圆半长轴比双曲线的半实轴大4，椭圆离心率与双曲线的离心率之比为3：7，求椭圆方程和双曲线方程．

Answer 1

分析 分类讨论，利用条件，建立方程组，即可求椭圆方程和双曲线方程．

解答 解：设焦点在x轴上的椭圆方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，双曲线方程为$\frac{x^2}{m^2}-\frac{y^2}{n^2}=1$，
由已知得$\left\{\begin{array}{l}{c=\sqrt{13}}\\{a-m=3}\\{\frac{c}{a}：\frac{c}{m}=3：7}\end{array}\right.$，∴$c=\sqrt{13}$，a=7，m=3，
∴椭圆方程为$\frac{x^2}{49}+\frac{y^2}{36}=1，双曲线方程为\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1$，
若焦点在y轴上，同样可得方程为$\frac{y^2}{49}+\frac{x^2}{36}=1$，$\frac{y^2}{9}-\frac{x^2}{4}=1$．

点评 本题考查求椭圆方程和双曲线方程，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．