Question

已知函数f（x）=lnx-ax+1（a∈R是常数）．
（Ⅰ）求函数y=f（x）的图象在为p（1，f（1））处的切线L方程；
（Ⅱ）证明函数y=f（x）（x≠1）的图象在切线L下方．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求函数的导数，利用导数的几何意义求函数y=f（x）的图象在点P（1，f（1））处的切线l的方程；
（Ⅱ）构造函数F（x）=f（x）-（1-a）x，利用导数求函数的最值，利用最值证明：函数y=f（x）（x≠1）的图象在直线l的下方

解答： （Ⅰ）解：∵f（x）=lnx-ax+1，
∴f′(x)=

1

x

-a，f（1）=-a+1，
∴f'（1）=1-a，∴切线L方程为y-（1-a）=（1-a）（x-1）
即y=（1-a）x；
（Ⅱ）证明：令F（x）=lnx-ax+1-x+ax=lnx-x+1，则F′(x)=

1

x

-1=

1-x

x

(x＞0)
令F'（x）＞0，可得0＜x＜1；F'（x）＜0，可得x＞1，
∴F（x）在（1，+∞）上单调递减，在（0，1）上单调递增，
∴F（x）_max=F（1）=0，
又x≠1，∴F（x）＜0，
∴f（x）＜（1-a）x，
∴函数y=f（x）（x≠1）的图象在切线L下方．

点评：本题主要考查利用导数研究函数的性质，考查学生的运算能力，综合性较强．