Question

12．（ax-$\frac{3}{4x}$+$\frac{2}{3}$）（x-$\frac{2}{x}$）⁶的展开式中各项系数的和为16，则展开式中x³项的系数为（　　）

• A． 974
• B． $\frac{63}{2}$
• C． 57
• D． 33

Answer 1

分析 在（ax-$\frac{3}{4x}$+$\frac{2}{3}$）（x-$\frac{2}{x}$）⁶中令x=1得展开式中各项系数的和，求出a的值；再把（x-$\frac{2}{x}$）⁶展开，从而求出（$\frac{193}{12}$x-$\frac{3}{4x}$+$\frac{2}{3}$）（x-$\frac{2}{x}$）⁶展开式中x³项的系数．

解答 解：（ax-$\frac{3}{4x}$+$\frac{2}{3}$）（x-$\frac{2}{x}$）⁶中，
令x=1得展开式中各项系数的和为（a-$\frac{1}{12}$）•（1-2）⁶=16，
解得a=$\frac{193}{12}$；
∴（$\frac{193}{12}$x-$\frac{3}{4x}$+$\frac{2}{3}$）（x-$\frac{2}{x}$）⁶，
又（x-$\frac{2}{x}$）⁶的展开式通项公式为
T_r+1=${C}_{6}^{r}$•x^6-r•${（-\frac{2}{x}）}^{r}$=（-2）^r•${C}_{6}^{r}$•x^6-2r，
6-2r=2，解得r=2，
∴（x-$\frac{2}{x}$）⁶的展开式中含x²的系数为（-2）²•${C}_{6}^{2}$=60；
令6-2r=4，解得r=1，
∴（x-$\frac{2}{x}$）⁶的展开式中含x⁴的系数为-2•${C}_{6}^{1}$=-12；
令6-2r=3，解得r=$\frac{3}{2}$，不合题意，舍去；
∴（$\frac{193}{12}$x-$\frac{3}{4x}$+$\frac{2}{3}$）（x-$\frac{2}{x}$）⁶展开式中x³项的系数为
$\frac{193}{12}$•60-$\frac{3}{4}$•（-12）=974．
故选：A．

点评 本题考查了二项式展开式的通项公式应用问题，是综合题．