Question

1．已知函数f（x）=|2x-3|+ax-6（a是常数，a∈R）．
（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）≥0的解集；
（Ⅱ）当x∈[-1，1]时，不等式f（x）＜0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）代入a的值，通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；
（Ⅱ）问题转化为（a-2）x-3＜0，x∈[-1，1]，得到关于a的不等式组，解出即可．

解答 解：（Ⅰ）a=1时，f（x）=|2x-3|+x-6=$\left\{\begin{array}{l}{3x-9，x≥\frac{3}{2}}\\{-3-x，x＜\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
故原不等式等价于$\left\{\begin{array}{l}{x≥\frac{3}{2}}\\{3x-9≥0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x＜\frac{3}{2}}\\{-3-x≥0}\end{array}\right.$，
解得：x≥3或x≤-3，
故原不等式的解集是{x|x≥3或x≤-3}；
（Ⅱ）x∈[-1，1]时，不等式f（x）＜0恒成立，
即3-2x+ax-6＜0恒成立，
即（a-2）x-3＜0，x∈[-1，1]，
由$\left\{\begin{array}{l}{（a-2）（-1）-3＜0}\\{（a-2）-3＜0}\end{array}\right.$，
解得：-1＜a＜5，
故a的范围是（-1，5）．

点评 本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．