Question

若集合M={x|x²+x-2^xλ≥0，x∈N^*}，若集合M中的元素个数为4，则实数λ的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：集合

分析：可对x=1，2，3，4，5进行分析求出λ的取值范围，研究当x≥6时，不等式恒成立转化为求函数的最值，从而求出λ的取值范围，根据集合M中的元素个数为4，确定λ的取值范围．

解答： 解：集合M={x|x²+x-2^xλ≥0，x∈N^*}，
x=1时，2-2λ≥0，解得λ≤1，
x=2时，6-4λ≥0，解得λ≤

3

2

，
x=3时，12-8λ≥0，解得λ≤

3

2

，
x=4时，20-16λ≥0，解得λ≤

5

4

，
x=5时，30-32λ≥0，解得λ≤

15

16

，
由x²+x-2^xλ≥0得λ≤

x2+x

2x

，
若x≥6时，x²+x-2^xλ≥0恒成立，则
λ≤

x2+x

2x

恒成立，
令f（x）=

x2+x

2x

，则当x≥6时，f（x）≥

21

32

，
∴λ≤

21

32

．
∵集合M中的元素个数为4，
∴

15

16

＜λ≤1．
故答案为：（

15

16

，1]．

点评：本题以集合中元素的个数为载体，考查不等式的恒成立问题，转化为求函数的最值问题，通过列举加以分析最后确定范围，值得借鉴．