Question

13．2016年9月30日周杰伦“地表最强”世界巡回演唱会在山西省体育中心红灯笼体育场举行．某高校4000名女生，6000名男生中按分层抽样抽取了50名学生进行了问卷调查，调查发现观看演唱会与未观看演唱会的人数相同，其中观看演唱会的女生为15人．
（1）根据调查结果完成如下2×2列联表，并通过计算判断是否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为“观看演唱会与性别有关”？
（2）从观看演唱会的4名男生和3名女生中抽取两人，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率．

	观看	未观看	合计
女生
男生
合计			50

P（K2≥k0）	0.025	0.010	0.005	0.001
k0	5.024	6.635	7.879	10.828

参考公式：K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，其中n=a+b+c+d．

Answer 1

分析 （1）根据分层抽样原理，计算抽取女生、男生数，填写2×2列联表，
计算K²的值，对照临界值得出结论；
（2）求出从观看演唱会的4名男生和3名女生中抽取两人的基本事件数
和恰好抽到一名男生和一名女生的基本事件数，计算所求的概率值．

解答 解：（1）根据分层抽样原理，抽取女生为4000×$\frac{50}{4000+6000}$=20，
男生为6000×$\frac{50}{4000+6000}$=30；
观看演唱会与未观看演唱会的人数相同，其中观看演唱会的女生为15人，没看的有5人；
观看演唱会的男生有10人，没看的有20人，填写2×2列联表如下，

	观看	未观看	合计
女生	15	5	20
男生	10	20	30
合计	25	25	50

计算K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$=$\frac{50{×（15×20-10×5）}^{2}}{20×30×25×25}$=$\frac{25}{3}$≈8.333＞7.879，
∴能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为“观看演唱会与性别有关”；
（2）从观看演唱会的4名男生和3名女生中抽取两人，基本事件数是${C}_{7}^{2}$=21种，
恰好抽到一名男生和一名女生的基本事件数是4×3=12种，
计算所求的概率值是P=$\frac{12}{21}$=$\frac{4}{7}$．

点评 本题考查了独立性检验的应用问题，也考查了古典概型的概率计算问题，是基础题．