Question

20．在水域上建一个演艺广场，演艺广场由看台Ⅰ，看台Ⅱ，三角形水域ABC，及矩形表演台BCDE四个部分构成（如图），看台Ⅰ，看台Ⅱ是分别以AB，AC为直径的两个半圆形区域，且看台Ⅰ的面积是看台Ⅱ的面积的3倍，矩形表演台BCDE 中，CD=10米，三角形水域ABC的面积为$400\sqrt{3}$平方米，设∠BAC=θ．
（1）求BC的长（用含θ的式子表示）；
（2）若表演台每平方米的造价为0.3万元，求表演台的最低造价．

Answer 1

分析 （1）根据看台的面积比得出AB，AC的关系，代入三角形的面积公式求出AB，AC，再利用余弦定理计算BC；
（2）根据（1）得出造价关于θ的函数，利用导数判断函数的单调性求出最小造价．

解答 解：（1）∵看台Ⅰ的面积是看台Ⅱ的面积的3倍，
∴$\frac{1}{2}π$（$\frac{AB}{2}$）²=3×$\frac{1}{2}π$（$\frac{AC}{2}$）²，∴AB=$\sqrt{3}$AC，
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}AB•AC•sinθ$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AC²sinθ=400$\sqrt{3}$，
∴AC²=$\frac{800}{sinθ}$，∴AB²=$\frac{2400}{sinθ}$，
在△ABC中，由余弦定理得BC²=AB²+AC²-2AB•ACcosθ=$\frac{3200-1600\sqrt{3}cosθ}{sinθ}$，
∴BC=40$\sqrt{\frac{2-\sqrt{3}cosθ}{sinθ}}$．
（2）设表演台的造价为y万元，则y=120$\sqrt{\frac{2-\sqrt{3}cosθ}{sinθ}}$，
设f（θ）=$\frac{2-\sqrt{3}cosθ}{sinθ}$（0＜θ＜π），则f′（θ）=$\frac{\sqrt{3}-2cosθ}{si{n}^{2}θ}$，
∴当0$＜θ＜\frac{π}{6}$时，f′（θ）＜0，当$\frac{π}{6}＜θ＜π$时，f′（θ）＞0，
∴f（θ）在（0，$\frac{π}{6}$）上单调递减，在（$\frac{π}{6}$，π）上单调递增，
∴当θ=$\frac{π}{6}$时，f（θ）取得最小值f（$\frac{π}{6}$）=1，
∴y的最小值为120，即表演台的最小造价为120万元．

点评 本题考查了解三角形，函数最值计算，余弦定理，属于中档题．