Question

已知f（x）=sin2x-

3

cos2x+n-1（n∈N^*）．
（1）在锐角△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，当n=1时，f（A）=

3

，且c=3，△ABC的面积为3

3

，求b的值．
（2）若f（x）的最大值为a_n（a_n为数列{a_n}的通项公式），又数列{b_n}满足b_n=

1

anan+1

，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,数列的求和

专题：点列、递归数列与数学归纳法,解三角形

分析：（1）由已知可解得sin(2A-

π

3

)=

3

2

，又由△ABC是锐角三角形，可得A的值，从而由三角形的面积公式可求得b的值；
（2）由（Ⅰ）可解得a_n=n+1，可得bn=

1

anan+1

=

1

(n+1)(n+2)

=

1

n+1

-

1

n+2

，从而可求数列{b_n}的前n项和T_n．

解答： （13分）解：（1）∵f（x）=sin2x-

3

cos2x+n-1=2sin(2x-

π

3

)+n-1，…（2分）
当n=1时，由f(A)=

3

得：2sin(2A-

π

3

)=

3

，
∴sin(2A-

π

3

)=

3

2

，
又∵△ABC是锐角三角形，
∴-

π

3

＜2A-

π

3

＜

2π

3

∴2A-

π

3

=

π

3

即A=

π

3

，…（5分）
又由S△ABC=

1

2

bcsinA=

3

2

b×

3

2

=3

3

∴可解得：b=4，…（7分）
（2）由（Ⅰ）知：f(x)=2sin(2x-

π

3

)+n-1，
∴f（x）取最大值为n+1，
∴a_n=n+1…（9分）
又bn=

1

anan+1

=

1

(n+1)(n+2)

=

1

n+1

-

1

n+2

…（11分）
∴Tn=

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n+1

-

1

n+2

=

1

2

-

1

n+2

=

n

2n+4

…（13分）

点评：本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，数列的求和，其中裂项求和是解题的关键，属于中档题．