Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，a_2n=a_2n-1+（-1）ⁿ，a_2n+1=a_2n+3ⁿ（n∈N^*），则数列{a_n}的前10项的和为

 

．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：把a_2n=a_2n-1+（-1）ⁿ代入a_2n+1=a_2n+3ⁿ，得到a_2n+1=a_2n+3ⁿ=a_2n-1+（-1）ⁿ+3ⁿ，依次取n为n-1，
n-2，…，1，类加后求得a_2n-1，进一步得到a_2n，则分组可求数列{a_n}的前10项的和．

解答： 解：由a₁=1，a_2n=a_2n-1+（-1）ⁿ，a_2n+1=a_2n+3ⁿ（n∈N^*），得
a_2n+1=a_2n+3ⁿ=a_2n-1+（-1）ⁿ+3ⁿ，
a2n-1=a2n-3+(-1)n-1+3n-1，
a2n-3=a2n-5+(-1)n-2+3n-2，
…
a5=a3+(-1)2+32，
a3=a1+(-1)1+31，
累加得：a_2n-1+a_2n-3+…+a₅+a₃=a_2n-3+a_2n-5+…+a₃+a₁
+（-1）¹+（-1）²+…+（-1）^n-2+（-1）^n-1+3¹+3²+…+3^n-2+3^n-1，
∴a2n-1=a1+

-1[1-(-1)n-1]

2

+

3(1-3n-1)

1-3

=1-

1

2

+

1

2

•(-1)n-1+

3

2

•3n-1-

3

2

=

1

2

•(-1)n-1+

3

2

•3n-1-1．
∴a2n=a2n-1+(-1)n=

3

2

•3n-1-

1

2

•(-1)n-1-1．
则S₁₀=（a₁+a₃+a₅+a₇+a₉）+（a₂+a₄+a₆+a₈+a₁₀）
=

1

2

[(-1)0+31-1+(-1)1+32-1+…+(-1)4+35-1]
+

1

2

[31-(-1)0-1+32-(-1)1-1+…+35-(-1)4-1]
=3+3²+3³+3⁴+3⁵-5
=

3(1-35)

1-3

-5
=358．
故答案为：358．

点评：本题考查了数列递推式，考查了累加法求数列的通项公式，是中档题．