Question

已知x²+y²+xy=2，则x+2y的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：基本不等式

专题：不等式的解法及应用

分析：当x=0时，y²=2，可得x+2y=±2

2

．当x≠0时，设a=x+2y，则a²=x²+4xy+4y²，于是

a2

2

=

x2+4xy+4y2

x2+xy+y2

=

1+4• y x +4( y x )2

1+ y x +( y x )2

，令t=

y

x

，化为（8-a²）t²+（8-a²）t+（2-a²）=0，a²≠8，t为实数，利用△≥0，解出即可．

解答： 解：当x=0时，y²=2，∴x+2y=±2

2

．
当x≠0时，设a=x+2y，
则a²=x²+4xy+4y²，
∴

a2

2

=

x2+4xy+4y2

x2+xy+y2

=

1+4• y x +4( y x )2

1+ y x +( y x )2

，
令t=

y

x

，化为（8-a²）t²+（8-a²）t+（2-a²）=0，
∵a²≠8，t为实数，
∴△=（8-a²）²-4（8-a²）（2-a²）≥0，
化为a²（a²-8）≤0，a²≠8，
解得0≤a²＜8
∴-2

2

＜a＜2

2

．
综上可得：-2

2

≤a≤2

2

．
故答案为：[-2

2

，2

2

]．

点评：本题考查了通过配方换元转化为一元二次方程由实数根与判别式的关系、分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．