Question

16．某化工厂O正东方向和北偏西60°方向分别有两条通向工厂的公路，工厂正北方向有一观察站C，OC=2千米，因化工厂原料泄漏，工厂周围1千米的范围内均有不同程度的影响．现准备从观察站C处修两条隔离绿化带CA，CB（其中A，B为隔离带与公路交接点）．且使CA⊥CB，隔离带与两条公路线围成的面积为S．
（1）①若OA=a千米，试把S表示成a的函数．并写出其定义域；
②若∠OAC=θ，试把S表示成θ的函数，并写出其定义域；
（2）选择上述两个函数中的以个，试求S的最小值．

Answer 1

分析 （1）①设B（x，-$\sqrt{3}$x），根据BC⊥AC列方程解出x从而求出两个三角形的面积；
②利用正弦定理计算OB，得出三角形的面积；
（2）判断函数的单调性，利用单调性求出最小值；

解答 解：（1）①由题意可知∠BOC=$\frac{π}{3}$，∴直线OB的方程为y=-$\sqrt{3}$x，
设B（x，-$\sqrt{3}$x），则k_BC=$\frac{2+\sqrt{3}x}{-x}$，k_AC=$\frac{2}{-a}$，
∵BC⊥AC，∴$\frac{2+\sqrt{3}x}{-x}$•$\frac{2}{-a}$=-1，解得x=-$\frac{4}{2\sqrt{3}+a}$．
∴S_△OBC=$\frac{1}{2}OC•|x|$=$\frac{4}{2\sqrt{3}+a}$，又S_△AOC=$\frac{1}{2}OA•OC$=a，
∴S=$\frac{4}{2\sqrt{3}+a}$+a．
由题意可知当AC与圆O相切时，OA取的最小值，
设AC的最小值为m，则AC=$\sqrt{{m}^{2}+4}$，
∵OA•OC=AC•1，即2m=$\sqrt{{m}^{2}+4}$，∴m=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
∴定义域为{a|a≥$\frac{2\sqrt{3}}{3}$}．
②∵BC⊥AC，∴∠BCO=∠OAC=θ，∴∠OBC=$\frac{2π}{3}$-θ，
在△OBC中，由正弦定理得$\frac{sin（\frac{2π}{3}-θ）}{2}=\frac{sinθ}{OB}$，
∴OB=$\frac{2sinθ}{sin（\frac{2π}{3}-θ）}$，∴S_△OBC=$\frac{1}{2}$OB•OCsin$\frac{π}{3}$=$\frac{\sqrt{3}sinθ}{sin（\frac{2π}{3}-θ）}$，
又tanθ=$\frac{OC}{OA}=\frac{2}{OA}$，∴OA=$\frac{2}{tanθ}$，∴S_△OAC=$\frac{1}{2}OA•OC$=$\frac{2}{tanθ}$，
∴S=$\frac{\sqrt{3}sinθ}{sin（\frac{2π}{3}-θ）}$+$\frac{2}{tanθ}$．
当θ取得最小值时，AC与圆O相切，∴θ的最大值为$\frac{π}{3}$．
∴定义域为{θ|0＜θ≤$\frac{π}{3}$}．
（2）S（a）=$\frac{4}{2\sqrt{3}+a}+a$，S′（a）=1-$\frac{4}{（2\sqrt{3}+a）^{2}}$=$\frac{（2\sqrt{3}+a）^{2}-4}{（2\sqrt{3}+a）^{2}}$=$\frac{（2\sqrt{3}+a+2）（2\sqrt{3}+a-2）}{（2\sqrt{3}+a）^{2}}$，
∵a$≥\frac{2\sqrt{3}}{3}$，∴S′（a）＞0，
∴S（a）在[$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，+∞）上是增函数，
∴当a=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$时，S（a）取得最小值S（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）=$\frac{7\sqrt{3}}{6}$．

点评 本题考查了函数解析式的求解，函数单调性判断和最值的计算，属于中档题．