Question

7．已知函数f（x）=x²+$\frac{1}{2}$x²-4x．
（1）求f′（x）；
（2）求函数在区间[-2，2]上的最值．

Answer 1

分析 （1）直接利用基本初等函数的导数公式及导数的运算法则求解；
（2）求出导函数的零点，由零点对定义域分段，进一步求出函数在[-2，2]上的极值及区间端点值得答案．

解答 解：（1）∵f（x）=x³+$\frac{1}{2}$x²-4x，
∴f′（x）=3x²+x-4；
（2）由f′（x）=3x²+x-4=0，得x=-$\frac{4}{3}$或x=1．
当x∈（-∞，-$\frac{4}{3}$）∪（1，+∞）时，f′（x）＞0；
当x∈（-$\frac{4}{3}$，1）时，f′（x）＜0．
∴f（x）的增区间为（-∞，-$\frac{4}{3}$），（1，+∞），减区间为（-$\frac{4}{3}$，1）．
∴f（x）的极大值为f（-$\frac{4}{3}$）=$\frac{104}{27}$，极小值为f（1）=$-\frac{5}{2}$．
又f（-2）=2，f（2）=2．
∴函数在区间[-2，2]上的最小值是$-\frac{5}{2}$，最大值是$\frac{104}{27}$．

点评 本题考查利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数求函数在闭区间上的最值，是中档题．