Question

已知函数f（x）=x²-x+c（c∈R）的一个零点为1．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小值；
（Ⅱ）设g(x)=

f(x)，x≤0 log2(x+1)，x＞0

，若g（t）=2，求实数t的值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,函数零点的判定定理

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）由已知可得f（1）=0，易求c，配方后利用二次函数的性质可求最小值；
（Ⅱ）分t≤0，t＞0两种情况讨论，表示出方程g（t）=2可解t值；

解答： 解：（Ⅰ）∵函数f（x）=x²-x+c的一个零点为1，
∴f（1）=0，即1²-1+c=0，解得c=0，
∴f(x)=x2-x=(x-

1

2

)2-

1

4

，
∴当x=

1

2

时，函数f（x）的最小值为-

1

4

．
（Ⅱ）g(x)=

x2-x，x≤0 log2(x+1)，x＞0

，
∵g（t）=2，
∴当t≤0时，g（t）=t²-t=2，解得t=-1，或t=2（舍去）；
当t＞0时，g（t）=log₂（t+1）=2，解得t=3．
综上所述，实数t的值为-1或3．

点评：本题主要考查二次函数、对数函数及分段函数的图象与性质；考查分类与整合、数形结合思想，推理论证与运算求解能力．