Question

已知点P是双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）一条渐近线上的一点，F是双曲线的右焦点，若|PF|的最小值为

1

2

a，求双曲线的离心率．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由题意，|PF|的最小值为F到双曲线的渐近线的距离，利用点到直线的距离公式，结合|PF|的最小值为

1

2

a，可得a，b的关系，即可求双曲线的离心率．

解答： 解：由题意，|PF|的最小值为F到双曲线的渐近线的距离，
∵双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）一条渐近线方程为bx-ay=0，F（c，0），
∴F到双曲线的渐近线的距离为

bc

b2+a2

=b，
∵|PF|的最小值为

1

2

a，
∴b=

1

2

a，
∴c=

a2+b2

=

5

2

a，
∴e=

c

a

=

5

2

．

点评：本题考查双曲线的几何性质，考查点到直线的距离公式，确定|PF|的最小值为F到双曲线的渐近线的距离是关键．