Question

对于定义域为D的函数y=f（x），若同时满足：①f（x）在D内单调递增或单调递减；②存在区间[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]．那么把函数y=f（x）（x∈D）叫做“同族函数”．
（1）求“同族函数”y=x²（x≥0）符合条件②的区间[a，b]．
（2）是否存在实数k，使函数y=k+

x+2

是“同族函数”？若存在，求实数k的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：根的存在性及根的个数判断

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）由题意，函数f（x）=x²在[a，b]上单调递增，从而得

a=a2 b=b2 b＞a≥0.

从而求得．
（2）假设函数y=k+

x+2

是“同族函数”，从而得到

a=k+ a+2 b=k+ b+2 .

，从而得方程x²-（2k+1）x+k²-2=0 （x≥-2，x≥k）有两个不相等的实数根；记f（x）=x²-（2k+1）x+k²-2，讨论以确定实数k的取值范围．

解答： 解：（1）由题意，函数f（x）=x²在[a，b]上单调递增，
则

a=a2 b=b2 b＞a≥0.

，解得

a=0 b=1.

即所求的区间为[0，1]．
（2）若函数y=k+

x+2

是“同族函数”，
则存在区间[a，b]，在区间[a，b]上，函数y=f（x）的值域为[a，b]．
而函数y=k+

x+2

在定义域内单调递增，
所以

a=k+ a+2 b=k+ b+2 .

，
则a，b是关于x的方程x=k+

x+2

的两个实数根，
即方程x²-（2k+1）x+k²-2=0 （x≥-2，x≥k）有两个不相等的实数根．
记f（x）=x²-（2k+1）x+k²-2，
当k≤-2时，有

△＞0 f(-2)≥0 2k+1 2 ＞-2.

解得-

9

4

＜k≤-2．
当k＞-2时，有

△＞0 f(k)≥0 2k+1 2 ＞k

无解．
综上所述，实数k的取值范围是（-

9

4

，-2]．

点评：本题考查了学生对新定义的接受能力及其应用，属于基础题．