Question

7．已知函数f（x）=2sin（ωx+$\frac{π}{6}$）-4cos²$\frac{ωx}{2}$+3（其中ω＞0，x∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的值域；
（Ⅱ）若函数f（x）的图象与直线y=1的相邻两交点间的距离为$\frac{π}{2}$，求函数f（x）的单调递减区间．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三角恒等变换化简函数f（x）为正弦型函数，根据正弦函数的有界性求出f（x）的值域；
（Ⅱ）由题设条件与三角函数的图象和性质可知f（x）的周期为π，求出ω的值，再根据正弦函数的单调性求出f（x）的单调递减区间．

解答 解：（Ⅰ）函数f（x）=2sin（ωx+$\frac{π}{6}$）-4cos²$\frac{ωx}{2}$+3
=2（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinωx+$\frac{1}{2}$cosωx）-2cosωx+1
=2（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinωx-$\frac{1}{2}$cosωx）+1
=2sin（ωx-$\frac{π}{6}$）+1，
由-1≤sin（ωx-$\frac{π}{6}$）≤1，
得-1≤2sin（ωx-$\frac{π}{6}$）+1≤3，
∴函数f（x）的值域为[-1，3]；
（Ⅱ）由题设条件与三角函数的图象和性质可知，
函数f（x）的周期为π，
即$\frac{2π}{ω}$=π，解得ω=2；
∴f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）+1；
令2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$（k∈Z），
解得kπ+$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{5π}{6}$（k∈Z）；
∴函数f（x）的单调递减区间是[kπ+$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{5π}{6}$]（k∈Z）．

点评 本题考查了三角恒等变换以及正弦型函数的图象和性质的应用问题，是中档题．