Question

18．如图，四棱锥P-ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，BC=2AD，△PAB与△PAD都是边长为2的等边三角形，E是BC的中点．
（1）求证：AE∥平面PCD；
（2）记平面PAB与平面PCD的交线为l，求二面角C-l-B的余弦值．

Answer 1

分析 （1）推导出四边形ADCE是平行四边形，从而AE∥CD，由此能证明AE∥平面PCD．
（2）连结DE、BD，设AE∩BD于O，连结PO，推导出AE⊥BD，PO⊥BD，PO⊥AO，从而PO⊥平面ABCD，以O为原点，OE为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角C-l-B的余弦值．

解答 证明：（1）∵∠ABC=∠BAD=90°，BC=2AD，E是BC的中点，
∴AD∥CE，且AD=CE，
∴四边形ADCE是平行四边形，∴AE∥CD，
∵AE?平面PCD，CD?平面PCD，
∴AE∥平面PCD．
解：（2）连结DE、BD，设AE∩BD于O，连结PO，
则四边形ABED是正方形，∴AE⊥BD，
∵PD=PB=2，O是BD中点，∴PO⊥BD，
则PO=$\sqrt{P{B}^{2}-O{B}^{2}}$=$\sqrt{4-2}$=$\sqrt{2}$，
又OA=$\sqrt{2}$，PA=2，∴PO²+OA²=PA²，
∴△POA是直角三角形，∴PO⊥AO，
∵BD∩AE=O，∴PO⊥平面ABCD，
以O为原点，OE为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，
则P（0，0，$\sqrt{2}$），A（-$\sqrt{2}，0，0$），B（0，$\sqrt{2}$，0），E（$\sqrt{2}，0，0$），D（0，-$\sqrt{2}$，0），
∴$\overrightarrow{PA}$=（-$\sqrt{2}，0，\sqrt{2}$），$\overrightarrow{PB}$=（0，$\sqrt{2}，-\sqrt{2}$），$\overrightarrow{PD}$=（0，$\sqrt{2}，-\sqrt{2}$），$\overrightarrow{AE}$=（2$\sqrt{2}$，0，0），
设$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）是平面PAB的法向量，
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PA}=-\sqrt{2}x-\sqrt{2}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}=\sqrt{2}y-\sqrt{2}z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}=（1，-1，-1）$，
设$\overrightarrow{m}$=（a，b，c）是平面PCD的法向量，
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PD}=-\sqrt{2}b-\sqrt{2}c=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AE}=2\sqrt{2}a=0}\end{array}\right.$，取b=1，得$\overrightarrow{m}$=（0，1，-1），
cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{0}{\sqrt{3}•\sqrt{2}}$=0，
∴二面角C-l-B的余弦值为0．

点评 本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．