Question

12．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一个焦点与抛物线y²=12x的焦点重合，且双曲线的离心率等于$\sqrt{3}$，则该双曲线的标准方程为（　　）

• A． $\frac{{x}^{2}}{27}$-$\frac{{y}^{2}}{18}$=1
• B． $\frac{{y}^{2}}{18}$-$\frac{{x}^{2}}{27}$=1
• C． $\frac{{x}^{2}}{12}$-$\frac{{y}^{2}}{24}$=1
• D． $\frac{{x}^{2}}{3}$-$\frac{{y}^{2}}{6}$=1

Answer 1

分析 根据题意，由抛物线的方程可得抛物线焦点坐标，即可得双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的焦点坐标，即可得c的值，再双曲线的离心率公式可得e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{3}$，解可得a的值，由双曲线的性质可得b的值，将a、b的值代入双曲线方程即可得答案．

解答 解：根据题意，抛物线y²=12x的焦点在x轴正半轴上，其坐标为（3，0），
则双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1中，一个焦点的坐标为（3，0），即c=3，
又由双曲线的离心率e=$\sqrt{3}$，则有e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{3}$，解可得a=$\sqrt{3}$，
则b²=c²-a²=6，
则双曲线的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{3}$-$\frac{{y}^{2}}{6}$=1；
故选：D．

点评 本题考查双曲线、抛物线的几何性质，关键是掌握双曲线中a、b、c的关系．