Question

5．已知函数f（x）=x+$\frac{4}{x}$，g（x）=2^x+a，若?x₁∈[$\frac{1}{2}$，3]，?x₂∈[2，3]，使得f（x₁）≥g（x₂），则实数a的取值范围a≤$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 由?x₁∈[$\frac{1}{2}$，3]，都?x₂∈[2，3]，使得f（x₁）≥g（x₂），可得f（x）在x₁∈[$\frac{1}{2}$，3]的最大值不小于g（x）在x₂∈[2，3]的最大值，构造关于a的不等式，可得结论．

解答 解：当x₁∈[$\frac{1}{2}$，3]时，由f（x）=x+$\frac{4}{x}$得，f′（x）=$\frac{{x}^{2}-4}{{x}^{2}}$，
令f′（x）＞0，解得：x＞2，令f′（x）＜0，解得：x＜2，
∴f（x）在[$\frac{1}{2}$，2]单调递减，在（2，3]递增，
∴f（$\frac{1}{2}$）=8.5是函数的最大值，
当x₂∈[2，3]时，g（x）=2^x+a为增函数，
∴g（3）=a+8是函数的最大值，
又∵?x₁∈[$\frac{1}{2}$，3]，都?x₂∈[2，3]，使得f（x₁）≥g（x₂），
可得f（x）在x₁∈[$\frac{1}{2}$，3]的最大值不小于g（x）在x₂∈[2，3]的最大值，
即8.5≥a+8，解得：a≤$\frac{1}{2}$，
故答案为：a≤$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查的知识是指数函数以及对勾函数函数的图象和性质，考察导数的应用，函数的单调性问题，本题是一道中档题．