Question

如图所示，在平面直角坐标系xOy中，设椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），其中b=

3

2

a，过椭圆E内一点P（1，1）的两条直线分别与椭圆交于点A，C和B，D，且满足

AP

=λ

PC

，

BP

=λ

PD

，其中λ为正常数．当点C恰为椭圆的右顶点时，对应的λ=

5

7

．
（1）求椭圆E的离心率；
（2）求a与b的值；
（3）当λ变化时，k_AB是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由b=

3

2

a，得到

1

4

a2=c2，由此能求出离心率．
（2）求出A(

12-5a

7

，

12

7

)，代入到椭圆方程中，能求出a=2，b=

3

．
（3）法一：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），由

AP

=λ

PC

，得

x3= 1-x1 λ +1 y3= 1-y1 λ +1

，推导出3x₁+4y₁=3x₂+4y₂，由此能求出kAB=-

3

4

为定值．
（3）法二：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），由点差法求出3（x₁+x₂）+4（y₁+y₂）k_AB=0，3（x₃+x₄）+4（y₃+y₄）k_CD=0，由此推导出kAB=-

3

4

为定值．

解答： （本小题满分16分）
解：（1）因为b=

3

2

a，
所以b2=

3

4

a2，整理得a2-c2=

3

4

a2，即

1

4

a2=c2，
所以离心率e=

c

a

=

1

2

．…（4分）
（2）因为C（a，0），λ=

5

7

，
所以由

AP

=λ

PC

，得A(

12-5a

7

，

12

7

)，…（7分）
将它代入到椭圆方程中，
得

(12-5a)2

49a2

+

122

49× 3 4 a2

=1，解得a=2，
所以a=2，b=

3

．…（10分）
（3）解法一：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），
由

AP

=λ

PC

，得

x3= 1-x1 λ +1 y3= 1-y1 λ +1

，…（12分）
又椭圆的方程为

x2

4

+

y2

3

=1，
所以由

x12

4

+

y12

3

=1，

x32

4

+

y32

3

=1，
得3x12+4y12=12①，且3(

1-x1

λ

+1)2+4(

1-y1

λ

+1)2=12②，
由②得，

1

λ2

[3(1-x1)2+4(1-y1)2]+

2

λ2

[3(1-x1)+4(1-y1)]=5，
即

1

λ2

[(3x12+4y12)+7-2(3x1+4y1)]+

2

λ2

[7-(3x1+4y1)]=5，
结合①，得3x1+4y1=

19+14λ-5λ2

2λ+2

，…（14分）
同理，有3x2+4y2=

19+14λ-5λ2

2λ+2

，
所以3x₁+4y₁=3x₂+4y₂，
从而

y1-y2

x1-x2

=-

3

4

，即kAB=-

3

4

为定值．…（16分）
（3）解法二：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），
由

AP

=λ

PC

，得

x1+λx3=1+λ y1+λy3=1+λ

，
同理

x2+λx4=1+λ y2+λy4=1+λ

，…（12分）
将A，B坐标代入椭圆方程得

3x12+4y12=12 3x22+4y22=12

，
两式相减得3（x₁+x₂）（x₁-x₂）+4（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，
即3（x₁+x₂）+4（y₁+y₂）k_AB=0，…（14分）
同理，3（x₃+x₄）+4（y₃+y₄）k_CD=0，
而k_AB=k_CD，所以3（x₃+x₄）+4（y₃+y₄）k_AB=0，
所以3λ（x₃+x₄）+4λ（y₃+y₄）k_AB=0，
所以3（x₁+λx₃+x₂+λx₄）+4（y₁+λy₃+y₂+λy₄）k_AB=0，
即6（1+λ）+8（1+λ）k=0，所以kAB=-

3

4

为定值．…（16分）

点评：本题考查椭圆的离心率的求法，考查椭圆方程的求法，考查直线的斜率是否为定值的判断与求法，解题时要认真审题，注意点差法的合理运用．