Question

在△ABC中，AB=AC，∠CAB=90°，且

AD

=λ

AC

（0＜λ＜

1

2

），过点D作直线DE∥AB交BC于E，将△DEC沿DE折起，使C点在平面ADEB内的射影与点A重合（如图），设M是BC的中点．
（Ⅰ）求证：BC⊥AD；
（Ⅱ）当λ=

1

3

时，求直线BC与平面EAM所成角的正弦值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,直线与平面垂直的性质

专题：空间角

分析：（Ⅰ）由∠CAB=90°，知翻折后AD⊥AB，由C点在平面ADEB内的射影与点A重合，知CA⊥底面ABDE，由此能证明BC⊥AD．
（Ⅱ）以A为原点，以AD为x轴，以AB为y轴，以AC为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线BC与平面EAM所成角的正弦值．

解答： （Ⅰ）证明：∵∠CAB=90°，∴CA⊥AB，
∴翻折后AD⊥AB，
∵△DEC沿DE折起，C点在平面ADEB内的射影与点A重合，
∴CA⊥底面ABDE，
∵AD?底面ABCD，∴CA⊥AD，
∵AB∩CA=A，∴AD⊥平面ABC，
∵BC?平面ABC，∴BC⊥AD．
（Ⅱ）解：以A为原点，以AD为x轴，以AB为y轴，
以AC为z轴，建立空间直角坐标系，
设AB=AC=3，由题意知：
A（0，0，0），E（1，2，0），B（0，3，0），
C（0，0，

3

），M（0，

3

2

，

3

2

），
∴

AM

=（0，

3

2

，

3

2

），

AE

=（1，2，0），

BC

=（0，-3，

3

），
设平面AME的法向量

n

=(x，y，z)，
则

n • AM = 3 2 y+ 3 2 z=0 n • AE =x+2y=0

，
取z=

3

，得

n

=（2，-1，

3

），
设直线BC与平面EAM所成角为θ，
sinθ=|cos＜

BC

，

n

＞|=|

3+3

12 • 8

|=

6

4

．

点评：本题考查异面直线的证明，考查直线与平面所成角的正弦值的求法，解题时要注意向量法的合理运用．