Question

已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ABC=45°，DC=1，AB=2，PA⊥平面ABCD，M为PB中点．
（Ⅰ）求证：MC∥平面PAD；
（Ⅱ）求证：BC⊥平面PAC．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）取PA的中点N，连接MN，DN，先证明出四边形DCMN为平行四边形，进而推断出MC∥DN，根据线面平行的判定定理证明出MC∥平面PAD．
（Ⅱ）求得AC的长，进而利用勾股定理证明BC⊥AC，根据线面垂直的性质推断出PA⊥BC，最后根据线面垂直的判定定理证明出BC⊥平面PAC．

解答： 证明：（Ⅰ）取PA的中点N，连接MN，DN，
∵M，N分别时PB，PA的中点，
∴MN∥AB，MN=

1

2

AB，
∵CD∥AB，CD=1，AB=2，
∴CD∥AB，CD=

1

2

AB，
∴MN∥CD，CD=MN，
∴四边形DCMN为平行四边形，
∴MC∥DN，
∵MC?平面PAD，DN?平面PAD，
∴MC∥平面PAD．
（Ⅱ）在直角梯形ABCD中，过C作CE⊥AB=E，
则四边形ADCE为矩形，
∴AE=CD=1，
∵AB=2，
∴BE=1，
在Rt△BEC中，∠ABC=45°，
∴CE=BE=1，CB=

2

，
则AC=

AD2+CD2

=

2

，
∴AC²+BC²=AB²，
∴BC⊥AC，
∵PA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，
∴PA⊥BC，
∵PA∩AC=A，
∴BC⊥平面PAC．

点评：本题主要考查了线面平行和线面垂直的判定定理的应用，考查了学生空间观察能力和推理能力．