Question

3．△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且三角形的面积S=$\frac{\sqrt{3}}{2}$accosB．
（1）求角B的大小；
（2）若a=2$\sqrt{15}$，点D在AB的延长线上，且AD=3，cos∠ADC=$\frac{2}{3}$，求b的值．

Answer 1

分析 （1）由已知利用三角形面积公式，同角三角函数基本关系式可求tanB=$\sqrt{3}$，由特殊角的三角函数值即可得解B的值．
（2）由已知可求∠CBD=$\frac{2π}{3}$，sin∠ADC=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，由正弦定理解得CD，进而在△ADC中，由余弦定理可得b的值．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）∵S=$\frac{\sqrt{3}}{2}$accosB=$\frac{1}{2}$acsinB，
∴tanB=$\sqrt{3}$，
∴B=$\frac{π}{3}$．
（2）如图，∵B=$\frac{π}{3}$．∴∠CBD=$\frac{2π}{3}$，
∵cos∠ADC=$\frac{2}{3}$，∴sin∠ADC=$\sqrt{1-co{s}^{2}∠ADC}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，
∴在△BCD中，由正弦定理$\frac{CD}{sin∠CBD}=\frac{BC}{sin∠BDC}$，可得：$\frac{CD}{sin\frac{2π}{3}}=\frac{2\sqrt{15}}{\frac{\sqrt{5}}{3}}$，解得：CD=9，
∴在△ADC中，由余弦定理可得：b²=AD²+CD²-2AD•CD•cos∠ADC=9+81-2×$3×9×\frac{2}{3}$=54．
∴b=3$\sqrt{6}$．

点评 本题主要考查了三角形面积公式，同角三角函数基本关系式，特殊角的三角函数值，正弦定理，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题．