Question

2．已知正三棱锥P-ABC的侧棱长为2，若二面角P-AB-C的余弦值为$\frac{{\sqrt{13}}}{13}$，则三棱锥P-ABC的体积为（　　）

• A． $\frac{3}{4}$
• B． $\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$
• C． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$
• D． $\frac{{2\sqrt{6}}}{3}$

Answer 1

分析 设棱锥底面边长为a，根据二面角的大小列方程解出a，求出棱锥的高，代入棱锥的体积公式计算．

解答 解：作PO⊥底面ABC，垂足为O，则O为等边三角形△ABC的中心，
取AB的中点D，连结PD，CD，则AB⊥PD，AB⊥CD，
∴∠PDO为二面角P-AB-C的平面角．
设棱锥的底面边长为a，则PD=$\sqrt{4-\frac{{a}^{2}}{4}}$，OD=$\frac{\sqrt{3}}{2}a×\frac{1}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}a$，
∴cos∠PDO=$\frac{OD}{PD}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{6}a}{\sqrt{4-\frac{{a}^{2}}{4}}}$=$\frac{\sqrt{13}}{13}$，解得a=$\sqrt{3}$，
∴PD=$\frac{\sqrt{13}}{2}$，OD=$\frac{1}{2}$，PO=$\sqrt{P{D}^{2}-O{D}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴V_P-ABC=$\frac{1}{3}{S}_{△ABC}•PO$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\sqrt{3}×\sqrt{3}×sin60°×\sqrt{3}$=$\frac{3}{4}$．
故选：A．

点评 本题考查了二面角的计算，棱锥的体积计算，属于中档题．