Question

10．（1）设函数$f（x）=\frac{sinθ}{3}{x^3}+\frac{{\sqrt{3}cosθ}}{2}{x^2}+tanθ$，其中$θ∈[{0，\frac{5}{12}π}]$，求导数f′（1）的取值范围；
（2）若曲线y=ax²（a＞0）与曲线y=lnx在它们的公共点P（s，t）处具有公共切线，求公共切线的方程．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的导数，求得f′（1）的表达式，运用辅助角公式化简，再由正弦函数的图象和性质，即可得到所求范围；
（2）求导数，利用曲线y=ax²（a＞0）与曲线y=lnx在它们的公共点P（s，t）处具有公共切线，建立方程组，即可求出a，s，t的值，运用点斜式方程即可得到所求切线的方程．

解答 解：（1）函数$f（x）=\frac{sinθ}{3}{x^3}+\frac{{\sqrt{3}cosθ}}{2}{x^2}+tanθ$，其中$θ∈[{0，\frac{5}{12}π}]$，
导数f′（x）=sinθ•x²+$\sqrt{3}$cosθ•x，
可得f′（1）=sinθ+$\sqrt{3}$cosθ=2sin（θ+$\frac{π}{3}$），
由$θ∈[{0，\frac{5}{12}π}]$，可得θ+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{3π}{4}$]，
即有sin（θ+$\frac{π}{3}$）∈[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]，
可得导数f′（1）的取值范围为[$\sqrt{2}$，2]；
（2）∵y=ax²，
∴y′=2ax，
∵y=lnx，
∴y′=$\frac{1}{x}$；
∵曲线y=ax²（a＞0）与曲线y=lnx在它们的公共点P（s，t）处具有公共切线，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2as=\frac{1}{s}}\\{t=a{s}^{2}=lns}\end{array}\right.$，
∴a=$\frac{1}{2e}$．s=$\sqrt{e}$，t=$\frac{1}{2}$，
可得公共切线的方程为y-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{\sqrt{e}}$（x-$\sqrt{e}$），
即为2x-2$\sqrt{e}$y-$\sqrt{e}$=0．

点评 本题考查导数的几何意义，以及正弦函数的图象和性质，同时考查利用导数研究曲线上某点切线方程，考查学生的计算能力，正确求导是关键．