Question

1．如图，平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB=2，AD=4将△CBD沿BD折起到△EBD的位置，使平面EDB⊥平面ABD
（Ⅰ）求证：AB⊥DE
（Ⅱ）求二面角B-AE-D的余弦值．

Answer 1

分析 （I）证明AB⊥BD，推出AB⊥平面EBD，然后证明AB⊥DE．
（Ⅱ）以B为坐标原点，BD，BA，BE所在直线分别为x，y，z轴，求出相关点的坐标，平面BAE的一个法向量，平面AED的法向量，利用向量的数量积求解二面角B-AE-D的余弦值．

解答 解：（I）证明：在△ABD中，∵AB=2，AD=4，∠DAB=60°，
∴$BD=\sqrt{{AB}^{2}+{AD}^{2}-2AB•2ADcos∠DAB}$=$2\sqrt{3}$，
∴AB²+BD²=AD²，∴AB⊥BD，
又∵平面EBD⊥平面ABD，
平面EBD∩平面ABD=BD，AB?平面ABD，
∴AB⊥平面EBD，∵DE?平面EBD，
∴AB⊥DE．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：AB⊥BD，AB⊥BE，BE⊥BD，
以B为坐标原点，BD，BA，BE所在直线分别为x，y，z轴，如图：
A（0，2，0），D（$2\sqrt{3}$，0，0），
E（0，0，2），
平面BAE的一个法向量为：$\overrightarrow{m}$=（1，0，0），
设平面AED的法向量为：$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）．
$\overrightarrow{AE}$=（-2，0，2），$\overrightarrow{AD}$=（-2，2$\sqrt{3}$，0）．
由：$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AE}=0\\ \overrightarrow{n}•\overrightarrow{AD}=0\end{array}\right.$，可得：$\left\{\begin{array}{l}-2x+2z=0\\-2x+2\sqrt{3}y=0\end{array}\right.$，令x=1，则z=1，解得y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\overrightarrow{n}$=（1，$\frac{\sqrt{3}}{3}$，1），
二面角B-AE-D的余弦值为：cosθ=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{\left|\overrightarrow{m}\right|\left|\overrightarrow{n}\right|}$=$\frac{1}{\sqrt{{1}^{2}+0+0}×\sqrt{{1}^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{3}）^{2}+{1}^{2}}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查异面直线垂直的证明，考查直线与平面所成角的正弦值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．