Question

13．如图，四棱锥P-ABCD的底面是平行四边形，PA=PB=AB=2，E，F分别是AB，CD的中点，平面AGF∥平面PEC，PD∩平面AGF=G，ED与AF相交于点H，则GH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 证明EH=DH，利用面AGF∥平面PEC，确定G是PD的中点，利用三角形的中位线的性质，即可得出结论．

解答 解：因为ABCD是平行四边形，
所以AB∥CD，AB=CD．
因为E，F分别是AB，CD的中点，
所以AE=FD．又∠EAH=∠DFH，∠AEH=∠FDH，
所以△AEH≌△FDH，
所以EH=DH．
因为平面AGF∥平面PEC，
平面PED∩平面AGF=GH，
平面PED∩平面PEC=PE，
所以GH∥PE，所以G是PD的中点．
因为PA=PB=AB=2，所以PE=2×sin60°=$\sqrt{3}$，
所以GH=$\frac{1}{2}$PE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查平面与平面平行的性质，考查三角形的中位线的性质，考查学生的计算能力，属于中档题．