Question

17．设函数f（x）=sin（$\frac{πx}{4}$-$\frac{π}{6}$）-2cos²$\frac{πx}{8}$+1．
（Ⅰ）求函数y=f（x）的最小正周期，并求出函数y=f（x）对称中心的坐标；
（Ⅱ）求函数y=f（x）在 x∈[$\frac{2}{3}$，2]时的最大值．

Answer 1

分析 （I）根据三角恒等变换化简f（x），利用正弦函数的性质求出周期和对称中心；
（II）根据x的范围求出$\frac{π}{4}$x-$\frac{π}{3}$的范围，利用正弦函数的单调性得出最值．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin$\frac{π}{4}$x-$\frac{1}{2}$cos$\frac{π}{4}$x-cos$\frac{π}{4}$x=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin$\frac{π}{4}$x-$\frac{3}{2}$cos$\frac{π}{4}$x=$\sqrt{3}$sin（$\frac{π}{4}$x-$\frac{π}{3}$），
故f（x）的最小正周期为T=$\frac{2π}{\frac{π}{4}}$=8，
令$\frac{π}{4}$x-$\frac{π}{3}$=kπ，解得x=$\frac{4}{3}$+4k，k∈Z，
所以函数的对称中心为（$\frac{4}{3}$+4k，0），k∈Z．
（Ⅱ）当 x∈[$\frac{2}{3}$，2]时，$\frac{π}{4}$x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{6}$]，
∴当$\frac{π}{4}$x-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{6}$时，f（x）取得最大值$\sqrt{3}•\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查了三角恒等变换，正弦函数的图象与性质，属于中档题．