Question

6．如图所示，某幼儿园有一个游乐场ABCD，其中AB=50米，BC=40米，由于幼儿园招生规模增大，需将该游乐场扩大成矩形区域EFGH，要求A、B、C、D四个点分别在矩形EFGH的四条边（不含顶点）上．设∠BAE=θ（弧度），EF的长为y米．
（1）求y关于θ的函数表达式；
（2）求矩形区域EFGH的面积S的最大值．

Answer 1

分析 （1）由∠BAE=θ，$∠E=\frac{π}{2}$，推出$∠ABE=\frac{π}{2}-θ$，∠CFB=θ．通过EF=EB+BF=50sinθ+40cosθ，得到y关于θ的函数表达式；
（2）结合（1）求出S=2000+4100sinθcosθ=2000+2050sin2θ（$0＜θ＜\frac{π}{2}$），利用三角函数的最值求解即可．

解答 解：（1）由∠BAE=θ，$∠E=\frac{π}{2}$，得$∠ABE=\frac{π}{2}-θ$，
又$∠ABC=\frac{π}{2}$，所以∠CFB=θ．
由AB=50，BC=40，所以EF=EB+BF=50sinθ+40cosθ，
即y=50sinθ+40cosθ（$0＜θ＜\frac{π}{2}$）．
（2）由（1）可知，EF=50sinθ+40cosθ，GF=CF+CG=40sinθ+50cosθ，
所以S=2000+4100sinθcosθ=2000+2050sin2θ（$0＜θ＜\frac{π}{2}$），
当$θ=\frac{π}{4}$时，S取得最大值，且最大值为4050（平方米）．

点评 本题考查三角函数的最值，三角形的解法，考查计算能力．