Question

9．如图，设抛物线C₁：y²=-4mx（m＞0）的准线l与x轴交于椭圆C₂：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的右焦点F₂，F₁为C₂的左焦点．椭圆的离心率为e=$\frac{1}{2}$，抛物线C₁与椭圆C₂交于x轴上方一点P，连接PF₁并延长其交C₁于点Q，M为C₁上一动点，且在P，Q之间移动．
（1）当$\frac{a}{2}+\frac{{\sqrt{3}}}{b}$取最小值时，求C₁和C₂的方程；
（2）若△PF₁F₂的边长恰好是三个连续的自然数，当△MPQ面积取最大值时，求面积最大值以及此时直线MP的方程．

Answer 1

分析 （1）用m表示出a，b，根据基本不等式得出m的值，从而得出C₁和C₂的方程；
（2）用m表示出椭圆方程，联立方程组得出P点坐标，计算出△PF₁F₂的三边关于m的式子，从而确定m的值，求出PQ的距离和M到直线PQ的距离，利用二次函数性质得出△MPQ面积的最大值．

解答 解：（1）∵$c=m，e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，∴$a=2m，b=\sqrt{3}m$，
∴$\frac{a}{2}+\frac{{\sqrt{3}}}{b}$=m+$\frac{1}{m}$≥2，当且仅当m=$\frac{1}{m}$即m=1时取等号，
当m=1时，a=2，b=$\sqrt{3}$，
∴抛物线C₁的方程为：y²=-4x，椭圆C₂的方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．
（2）因为$c=m，e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，则$a=2m，b=\sqrt{3}m$，
∴椭圆的标准方程为$\frac{x^2}{{4{m^2}}}+\frac{y^2}{{3{m^2}}}=1$，设P（x₀，y₀），Q（x₁，y₁），
由$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{x^2}{{4{m^2}}}+\frac{y^2}{{3{m^2}}}=1}\\{{y^2}=-4mx}\end{array}}\right.$得3x²-16mx-12m²=0，解得${x_0}=-\frac{2}{3}m$或x₀=6m（舍去），
代入抛物线方程得${y_0}=\frac{{2\sqrt{6}}}{3}m$，即$P（{-\frac{2m}{3}，\frac{{2\sqrt{6}m}}{3}}）$，
于是$|{P{F_1}}|=\frac{5m}{3}，|{P{F_2}}|=2a-|{P{F_1}}|=\frac{7m}{3}，|{{F_1}{F_2}}|=2m=\frac{6m}{3}$，
又△PF₁F₂的边长恰好是三个连续的自然数，∴m=3．
∴抛物线方程为y²=-12x，${F_1}（{-3，0}），P（{-2，2\sqrt{6}}）$，
∴直线PQ的方程为$y=2\sqrt{6}（{x+3}）$．
联立$\left\{{\begin{array}{l}{y=2\sqrt{6}（{x+3}）}\\{{y^2}=-12x}\end{array}}\right.$，得${x_1}=-\frac{9}{2}$或x₁=-2（舍去），于是$Q（{-\frac{9}{2}，-3\sqrt{6}}）$．
∴$|{PQ}|=\sqrt{{{（{-2+\frac{9}{2}}）}^2}+{{（{2\sqrt{6}+3\sqrt{6}}）}^2}}=\frac{25}{2}$，
设$M（{-\frac{t^2}{12}，t}）（{t∈（{-3\sqrt{6}，2\sqrt{6}}）}）$到直线PQ的距离为d，则$d=\frac{{\sqrt{6}}}{30}×|{{{（{t+\frac{{\sqrt{6}}}{2}}）}^2}-\frac{75}{2}}|$，
∴当$t=-\frac{{\sqrt{6}}}{2}$时，${d_{max}}=\frac{{\sqrt{6}}}{30}×\frac{75}{2}=\frac{{5\sqrt{6}}}{4}$，
∴△MPQ的面积最大值为$\frac{1}{2}×\frac{25}{2}×\frac{{5\sqrt{6}}}{4}=\frac{{125\sqrt{6}}}{16}$．
此时M（-$\frac{1}{8}$，-$\frac{\sqrt{6}}{2}$），∴直线MP的方程为y=-$\frac{4\sqrt{6}}{3}$x-$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题考查了圆锥曲线的性质，直线与圆锥曲线的位置关系，属于中档题．