题目内容
19．
倾斜角$\frac{π}{4}$的直线l过抛物线y2=4x焦点，且与抛物线相交于A、B两点．（1）求直线l的方程．
（2）求线段AB长．
分析 （1）求出抛物线的焦点坐标F（1，0），用点斜式求出直线方程即可．
（2）联立直线方程与抛物线方程联解得一个关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系结合曲线的弦长的公式，可以求出线段AB的长度．
解答 解：（1）根据抛物线y2=4x方程得：焦点坐标F（1，0），
直线AB的斜率为k=tan45°=1，
由直线方程的点斜式方程，设AB：y=x-1，
（2）将直线方程代入到抛物线方程中，得：（x-1）2=4x，
整理得：x2-6x+1=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
由一元二次方程根与系数的关系得：x1+x2=6，x1•x2=1，所以弦长|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x1-x2|=$\sqrt{2}$•$\sqrt{36-4}$=8．
点评 本题以抛物线为载体，考查了圆锥曲线的弦长问题，属于中档题．本题运用了直线方程与抛物线方程联解的方法，对运算的要求较高．利用一元二次方程根与系数的关系和弦长公式是解决本题的关键．
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| A． | $\frac{π}{6}$ | B． | $\frac{π}{3}$ | C． | $\frac{π}{4}$ | D． | $\frac{π}{12}$ |