Question

已知函数f（x）=ax²+bx（a，b∈R），函数g（x）=lnx．
（1）当a=0时，函数f（x）的图象与函数g（x）的图象有公共点，求实数b的最大值；
（2）当b=0时，试判断函数f（x）的图象与函数g（x）的图象的公共点的个数；
（3）函数f（x）的图象能否恒在函数y=bg（x）的上方？若能，求出a，b的取值范围；若不能，请说明理由．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：（1）由a=0，可得f（x）=bx，由一次函数与对数函数图象可知两图象相切时b取最大值，利用导数的几何意义即可得出；
（2）由于b=0，x＞0，可得f(x)=g(x)?a=

lnx

x2

，即原题等价于直线y=a与函数r（x）=

lnx

x2

的图象的公共点的个数，利用导数研究函数r（x）的单调性即可得出；
（3）函数f（x）的图象恒在函数y=bg（x）的上方，即f（x）＞bg（x）在x＞0时恒成立．对a，b分类讨论，再利用（1）（2）的结论即可得出．

解答： 解：（1）∵a=0，∴f（x）=bx，
由一次函数与对数函数图象可知两图象相切时b取最大值，
设切点横坐标为x₀，∵f′(x)=b， g′(x)=

1

x

，
∴

b= 1 x0 bx0=lnx0

 ， ∴x0=e，
∴b=

1

e

，即实数b的最大值为b=

1

e

；  
（2）∵b=0，x＞0，
∴f(x)=g(x)?a=

lnx

x2

，
即原题等价于直线y=a与函数r（x）=

lnx

x2

的图象的公共点的个数，
∵r′(x)=

x-2xlnx

x4

=

1-2lnx

x3

，
由r′（x）＞0，解得0＜x＜

e

，∴r（x）在(0，

e

)单调递增，且r（x）∈(-∞，

1

2e

)；
由r′（x）＜0，解得x＞

e

，∴r（x）在(

e

，+∞)单调递减，且r（x）∈(0，

1

2e

)．
∴a∈(

1

2e

，+∞)时，无公共点；a∈(-∞，0]∪{

1

2e

}时，有一个公共点；a∈(0，

1

2e

)时，有两个公共点．   
（3）函数f（x）的图象恒在函数y=bg（x）的上方，
即f（x）＞bg（x）在x＞0时恒成立，
①当a＜0时，f（x）图象开口向下，即f（x）＞bg（x）在x＞0时不可能恒成立，
②a=0时，bx＞blnx，由（1）可得x＞lnx，
∴b＞0时，f（x）＞bg（x）恒成立，b≤0时，f（x）＞bg（x）不成立，
③a＞0时，
若b＜0，则

a

b

＜

lnx-x

x2

，由（2）可得

lnx-x

x2

无最小值，故f（x）＞bg（x）不可能恒成立，
若b=0，则ax²＞0，故f（x）＞bg（x）恒成立，
若b＞0，则ax²+b（x-lnx）＞0，故f（x）＞bg（x）恒成立，
综上，a=0，b＞0或a＞0，b≥0时
函数f（x）的图象恒在函数y=bg（x）的图象的上方．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、导数的几何意义，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．