题目内容

设函数f（x）=x3-3ax+b（a≠0）在点（2，f（2））处与直线y=8相切．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）的单调区间与极值．
考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究曲线上某点切线方程
专题：导数的概念及应用
分析：（1）先求出函数的导数，通过解方程组求出a，b的值，（2）分别令f′（x）＞0，f′（x）＜0，解不等式，求出单调区间，从而求出函数的最值．
解答： 解：（1）∵f′（x）=3x2-3a，
∴
f′(2)=0
f(2)=8
，即
12-3a=0
8-6a+b=8
，
解得：
a=4
b=24
，
∴f（x）=x3-12x+24．
（2）∵f′（x）=3（x-2）（x+2），
令f′（x）＞0，解得：x＞2，x＜-2，
令f′（x）＜0，解得：-2＜x＜2，
∴f（x）在（-∞，2），（2，+∞）上递增，在（-2，2）上递减；
∴f（x）极大值=f（-2）=40，f（x）极小值=f（2）=8．
点评：本题考察了求函数的解析式问题，函数的单调性以及最值问题，是一道基础题．
练习册系列答案
相关题目
设△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知A=60°，a=
6
，c=
5
，则b=（　　）
A、
3-
5
2
B、
3+
5
2
C、2
D、3
下面给出了四个类比推理：
①由“若a，b，c∈R则（ab）c=a（bc）”类比推出“若
a
，
b
，
c
为三个向量则（
a
•
b
）•
c
=
a
•（
b
•
c
）”
②已知△ABC周长为c，且它的内切圆半径为r，则三角形的面积为
1
2
cr．类比推出，若四面体D-ABC的表面积为s，内切球半径为r，则其体积是
1
3
sr
③“若a，b∈R，则a-b＞0⇒a＞b”类比推出“若a，b∈C，（C为复数集）则a-b＞0⇒a＞b”；
④经过圆x2+y2=r2上一点M（x0，y0）的切线方程为x0x+y0y=r2．类比上述性质，类比推出经过椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1上一点M（x0，y0）的切线方程为
x0x
a2
+
y0y
b2
=1
上述四个推理中，结论正确的是（　　）
A、①②B、②③C、②④D、③④
方程x3-x2-m=0在[1，2]上有解，则实数m的取值范围是（　　）
A、0＜m≤2
B、0≤m≤2
C、0＜m≤4
D、0≤m≤4
已知a∈R，命题p：“?x∈[1，2]，x2-a≥0”，命题q：“?x∈R，x2+2ax+2-a=0”．
（1）若命题p为真命题，求实数a的取值范围；
（2）若命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．
已知函数f（x）=ax2+bx+1（a，b为实数，a≠0，x∈R），F（x）=
f(x) ， x＞0
-f(x) ， x＜0
．
（1）若f（-1）=0，且函数f（x）的值域为[0，+∞），求F（x）的表达式；
（2）设mn＜0，m+n＞0，a＞0，且函数f（x）为偶函数，判断F（m）+F（n）是否大于0？
（3）设g（x）=
lnx+1
ex
，当a=b=1时，证明：对任意实数x＞0，[F（x）-1]g′（x）＜1+e-2（其中g′（x）是g（x）的导函数）．
已知函数f（x）=ax2+bx（a，b∈R），函数g（x）=lnx．
（1）当a=0时，函数f（x）的图象与函数g（x）的图象有公共点，求实数b的最大值；
（2）当b=0时，试判断函数f（x）的图象与函数g（x）的图象的公共点的个数；
（3）函数f（x）的图象能否恒在函数y=bg（x）的上方？若能，求出a，b的取值范围；若不能，请说明理由．
在椭圆中，过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦，叫做椭圆的通径．如图，已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，其离心率为
1
2
，通径长为3．
（1）求椭圆的方程；
（2）过F2的动直线l交椭圆于A、B两点，
（ⅰ）问在x轴上是否存在定点C，使
CA
•
CB
恒为常数？若存在，求出点C的坐标；若不存在，说明理由．
（ⅱ）延长BF1交椭圆于点M，I1、I2分别为△F1BF2、△F1MF2的内心，证明四边形F1I2F2I1与△MF2B的面积的比值恒为定值，并求出这个定值．
20名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频数分布直方图如图所示．
（Ⅰ）求频数直方图中a的值；
（Ⅱ）分别球出成绩落在[50，60）与[60，70）中的学生人数．

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