Question

如图，已知矩形ABCD中，AB=2，AD=1，M为DC的中点．将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM．
（1）求证：AD⊥BM；
（2）求DC与平面ADM所成的角的正弦值；
（3）若点E是线段DB上的一动点，问点E在何位置时，二面角E-AM-D的余弦值为

5

5

．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,空间中直线与直线之间的位置关系,直线与平面所成的角

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）先证明BM⊥AM，再利用平面ADM⊥平面ABCM，证明BM⊥平面ADM，从而可得AD⊥BM；
（2）以M为坐标原点，MA为x轴，MB为y轴，建立空间直角坐标系，求出面ADM的法向量，利用向量的夹角公式，即可求DC与平面ADM所成的角的正弦值；
（3）求出面AMD的法向量、面AEM的法向量，利用向量的夹角公式，结合二面角E-AM-D的余弦值为

5

5

，即可得出结论．

解答： （1）证明：∵长方形ABCD中，AB=2，AD=1，M为DC的中点，
∴AM=BM=

2

，
∴BM⊥AM，
∵平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM=AM，BM?平面ABCM
∴BM⊥平面ADM
∵AD?平面ADM
∴AD⊥BM…（4分）
（2）解：以M为坐标原点，MA为x轴，MB为y轴，建立空间直角坐标系，
则D(

2

2

，0，

2

2

)，C(-

2

2

，

2

2

，0)，

DC

=(-

2

，

2

2

，-

2

2

)
面ADM的法向量为

n

=(0，1，0)；设DC与面ADM所成的角为θ．
∴sinθ=|cos＜

DC

，

n

＞|=|

2 2

1× 3

|=

2

2 3

=

6

6

，
∴DC与面ADM所成的角的正弦值为

6

6

．…（8分）
（3）解：同（2）中建立空间直角坐标系
面AMD的法向量为

MB

=(0，

2

，0)
设

DE

=λ

DB

=λ(-

2

2

，

2

，-

2

2

)=(-

2

2

λ，

2

λ，-

2

2

λ)

AE

=

DE

-

DA

=(-

2

2

λ，

2

λ，-

2

2

λ)-(

2

2

，0，-

2

2

)=(-

2

2

λ-

2

2

，

2

λ，-

2

2

λ+

2

2

)
设面AEM的法向量为

n

=(x，y，z)，
∴

n • MA =0 n • AE =0

⇒

x=0 2 λy- 2 2 λz+ 2 2 z=0

令y=1，z=

2λ

λ-1

，∴

n

=(0，1，

2λ

λ-1

)…（10分）
由题意

5

5

=cos＜

MB

，

n

＞=

(0， 2 ，0)•(0，1， 2λ λ-1 )

2 • 1+( 2λ λ-1 )2

解得：λ=

1

2

即E在DB中点时，二面角E-AM-D的余弦值为

5

5

…（13分）

点评：本题考查线面垂直，考查面面角，正确运用面面垂直的性质，掌握线面垂直的判定方法，正确运用向量法是关键．