Question

2．解关于x的不等式ax²+2x+1≤0（其中a∈R）．

Answer 1

分析 对a进行讨论，分a=0和a≠0时，进一步利用判别式△，即可求出不等式ax²+2x+1≤0对应的解集．

解答 解：（I）当a=0时，不等式化为2x+1≤0，不等式的解集为{x|x≤-$\frac{1}{2}$}；
（II）当a≠0时，不等式对应的方程为ax²+2x+1=0，
令△=4-4a=0，解得a=1；
①当a=1时，△=0，不等式ax²+2x+1≤0对应的解集为{x|x=-1}；
②当1＞a＞0时，△=4-4a＞0，
方程ax²+2x+1=0的两根为
x₁=$\frac{-1-\sqrt{1-a}}{a}$，x₂=$\frac{-1+\sqrt{1-a}}{a}$，
且x₁＜x₂；
∴不等式的解集为{x|-$\frac{1+\sqrt{1-a}}{a}$≤x≤$\frac{-1+\sqrt{1-a}}{a}$}；
③当a＞1时，△＜0，
方程ax²+2x+1=0无解，不等式的解集为∅
④当a＜0时，△=4-4a＞0，
方程ax²+2x+1=0的两根为
x₁=$\frac{-1-\sqrt{1-a}}{a}$，x₂=$\frac{-1+\sqrt{1-a}}{a}$，
且x₁＞x₂；
∴不等式的解集为{x|x≥-$\frac{1+\sqrt{1-a}}{a}$或x≤$\frac{-1+\sqrt{1-a}}{a}$}．

点评 本题考查了含有字母系数的不等式的解法与应用问题，解题时应对字母系数进行分类讨论，是易错题．