Question

13．某学校从星期一到星期五的大米需求量逐渐增加，前5天的大米需求量统计数据表：

星期x	1	2	3	4	5
需求量y（单位：kg）	236	246	257	276	286

（Ⅰ）利用所给数据求需求量y与x之间的回归直线方程$\widehat{y}$=$\widehat{b}$x+$\widehat{a}$；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）中所求出的直线方程预测该校星期日的大米需求量．
（附：线性回归方程$\widehat{y}$=$\widehat{b}$x+$\widehat{a}$中，$\widehatb=\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n\overline x}\overline y}}{{\sum_{i=1}^n{x_i^2-n{{\overline x}^2}}}}$，$\widehata=\overline y-b\overline x$）

Answer 1

分析 （Ⅰ）对预处理后的数据，令m=x-3，n=y-257，容易算得$\overline m=0$，$\overline n=3.2$，利用最小二乘法做回归系数，写出线性回归方程．
（Ⅱ）把所给的x的值代入线性回归方程，求出变化以后的预报值，得到结果．

解答 解：（Ⅰ）由所给数据看出，每天需求量与年份之间是近似直线上升．为此对数据预处理如下：

星期x-3	-2	-1	0	1	2
需求量y-257（kg）	-21	-11	0	19	29

对预处理后的数据，令m=x-3，n=y-257，容易算得$\overline m=0$，$\overline n=3.2$，（3分）
$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{（-2）×（-21）+（-1）×（-11）+0+1×19+2×29-5×0×3.2}{{{{（-2）}^2}+{{（-1）}^2}+{0^2}+{1^2}+{2^2}-5×{0^2}}}=\frac{130}{10}=13$，（6分）
$\stackrel{∧}{a}$=3.2-13×0=3.2．
由上述计算结果知，所求回归直线方程为$\stackrel{∧}{y}$-257=13（x-3）+3.2，
即$\stackrel{∧}{y}$=13x+221.2．（10分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）$\stackrel{∧}{y}$=13x+221.2，预测星期日的大米需求量为13×7+221.2=312.2（kg）．（12分）

点评 本题考查回归分析的基本思想及其初步应用，考查回归方程的意义和求法，考查数据处理的基本方法和能力，考查利用统计思想解决实际问题的能力．